Algebra lineare Esempi

$3 x - 2 y + 8 z = 38$ $6 x + 3 y - 9 z = - 12$ $4 x + 4 y + 20 z = 0$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 8 & 38 \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 & 3 & - 9 & - 12 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 3 - 6 (- \frac{2}{3}) & - 9 - 6 (\frac{8}{3}) & - 12 - 6 (\frac{38}{3}) \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 4 & 4 & 20 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 (- \frac{2}{3}) & 20 - 4 (\frac{8}{3}) & 0 - 4 (\frac{38}{3}) \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 7 & - 25 & - 88 \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{7}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{7}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{- 25}{7} & \frac{- 88}{7} \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & \frac{20}{3} & \frac{28}{3} & - \frac{152}{3} \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - \frac{20}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - \frac{20}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 - \frac{20}{3} \cdot 0 & \frac{20}{3} - \frac{20}{3} \cdot 1 & \frac{28}{3} - \frac{20}{3} (- \frac{25}{7}) & - \frac{152}{3} - \frac{20}{3} (- \frac{88}{7}) \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & 0 & \frac{232}{7} & \frac{232}{7} \end{array}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $\frac{7}{232}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $\frac{7}{232}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ \frac{7}{232} \cdot 0 & \frac{7}{232} \cdot 0 & \frac{7}{232} \cdot \frac{232}{7} & \frac{7}{232} \cdot \frac{232}{7} \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{7} & - \frac{88}{7} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{25}{7} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 2.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{25}{7} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 + \frac{25}{7} \cdot 0 & 1 + \frac{25}{7} \cdot 0 & - \frac{25}{7} + \frac{25}{7} \cdot 1 & - \frac{88}{7} + \frac{25}{7} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & \frac{38}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{3} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 2.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{3} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} - \frac{8}{3} \cdot 0 & \frac{8}{3} - \frac{8}{3} \cdot 1 & \frac{38}{3} - \frac{8}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.9.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 10 + \frac{2}{3} \cdot - 9 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 9 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = 4$

$y = - 9$

$z = 1$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(4, - 9, 1)$